الأعداد المركبة: حل المعادلة التربيعية EMBED Equation.DSMT4 هو EMBED Equation.DSMT4 . هذه الحلول كانت معروفة من آلاف السنين و لكن وجهة النظر كانت أن هذه المعادلة تعطينا جذور فقط عندما تكون EMBED Equation.DSMT4 ولكن الرياضيين وجدوا أن رفضهم قبول جذور لأعداد سالبة يؤدي إلى تعقيدات كثيرة يمكن تجنبها و أنه كما كان قبول الأعداد السالبة و الصفر سبب في تبسيط الجبر فإن قبول الأعداد المركبة سيؤدي إلى تبسيط الجبر. في الواقع احد النتائج المهمة في الرياضيات (النظرية الأساسية في الجبر) تنص على أن أي كثيرة حدود غير ثابتة لها جذور مركبة. اليوم أصبحت الأعداد المركبة الأساس الذي تبنى عليه بعض من أهم فروع الرياضيات.
في الأعداد المركبة نضيف إلى الأعداد الصحيحة جذور للأعداد السالبة. بما أن كل عدد سالب يساوي حاصل ضرب EMBED Equation.DSMT4 في عدد موجب و للعدد الموجب جذر تربيعي حقيقي فإنه يمكن كتابة جذره على الشكل EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 عدد حقيقي. فنعرِّف الأعداد المركبة على أنها تعبيرات على الشكل EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 أعداد حقيقية و EMBED Equation.DSMT4 عدد جديد نأخذه كجذر تربيعي للعدد EMBED Equation.DSMT4 سنرمز لهذا العدد بالرمز EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 يسمى الجزء التخيلي
العمليات الحسابية: تعريف الجمع و الطرح هو التعريف المتوقع فنجمع الأجزاء الحقيقية معاً و الأجزاء التخيلية معاً أي
EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 الضرب أيضاً كما نتوقع: يحدده التوزيع و كون EMBED Equation.DSMT4 أي
EMBED Equation.DSMT4
فجزئه الحقيقي هو ناتج طرح حاصل ضرب التخيلين من حاصل ضرب الحقيقين و جزئه التخيلي هو مجموع حاصل ضرب حقيقي الأول في تخيلي الثاني مع حاصل ضرب تخيلي الأول في حقيق الثاني. مثلا EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4
المرافق و المقياس و القسمة: إذا كان EMBED Equation.DSMT4 عدد مركب فمرافق EMBED Equation.DSMT4 هو العدد المركب EMBED Equation.DSMT4 لاحظ أننا استخدمنا خطاً فوق العدد لنرمز لمرافقه. مثلا EMBED Equation.DSMT4 أهمية المرافق تكمن في كون EMBED Equation.DSMT4 حقيقي فإذا EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4
هذا عدد حقيقي غير سالب جذره ألتربيعي يسمى مقياس العدد EMBED Equation.DSMT4 و يرمز له بوضع العدد بين خطين عموديين أي EMBED Equation.DSMT4
العدد المركب الصفري هو EMBED Equation.DSMT4 الذي جزئه الحقيقي و جزئه التخيلي صفريين. إذا كان EMBED Equation.DSMT4 لا صفري فإن EMBED Equation.DSMT4 أو EMBED Equation.DSMT4 و بالتالي فإن EMBED Equation.DSMT4 و بقسمة طرفي EMBED Equation.DSMT4 على EMBED Equation.DSMT4 نجد أن EMBED Equation.DSMT4 إذا نستطيع أخذ المقلوب EMBED Equation.DSMT4 مثلاً مقلوب EMBED Equation.DSMT4 هو EMBED Equation.DSMT4 من اجل التوضيح سنحسب حاصل الضرب EMBED Equation.DSMT4 المقلوب يمكِّننا من إجراء عملية القسمة لأنه إذا EMBED Equation.DSMT4 أعداد مركبة حيث EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4 (هذا هو العدد الذي حاصل ضربه في EMBED Equation.DSMT4 يساوي EMBED Equation.DSMT4 ) مثلاً EMBED Equation.DSMT4
سنسرد بعض خواص هذه العمليات هنا و حيث إثباتها يتبع بالحساب المباشر فإننا سنترك هذه الإثباتات كتمارين
ملاحظة: من العلاقات التي تستخدم بكثرة كون EMBED Equation.DSMT4 إذا كان EMBED Equation.DSMT4
التمثيل الهندسي للإعداد المركبة: في التمثيل الهندسي نستخدم محورين. المحور الحقيقي عادة يرسم أفقيا مع كون الاتجاه الموجب إلى اليمين و المحور التخيلي يرسم عادة عموديا و الاتجاه الموجب إلى أعلى. و نمثل العدد المركب EMBED Equation.DSMT4 بالنقطة التي إسقاطها على المحور الحقيقي يقاطعه في النقطة EMBED Equation.DSMT4 و إسقاطها على المحور التخيلي يقاطعه في النقطة التي إحداثياتها الديكارتية هي EMBED Equation.DSMT4 (انظر الشكل 3).
الصيغة القطبية للأعداد المركبة: من أهم ما نستخلصه من تفسيرنا الهندسي للأعداد إمكانية استخدام الإحداثيات القطبية. هذه ستعطينا الصيغة القطبية للأعداد المركبة. لنذكر أنه في الإحداثيات القطبية للنقطة نستخدم مقدارين EMBED Equation.DSMT4 و هي مسافتها من نقطة الأصل و EMBED Equation.DSMT4 و هي الزاوية من النصف الموجب للمحور الحقيق و الشعاع من نقطة الأصل إلى النقطة. (انظر الشكل 4) طبعا الزاوية EMBED Equation.DSMT4 معرفة إلى مضاعف من EMBED Equation.DSMT4 أي إذا كانت EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 قيمتين للزاوية EMBED Equation.DSMT4 لنقطة ما فإن EMBED Equation.DSMT4 (أي الفرق بينهما هو EMBED Equation.DSMT4 دوران تام) التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية سهل فلدينا أن EMBED Equation.DSMT4 هي الإحداثيات الديكارتية للنقطة فالصيغة الديكارتية للنقطة هي EMBED Equation.DSMT4
معادلة أويلر: المقدار EMBED Equation.DSMT4 بالغ الأمية فهي الإحداثيات الديكارتية للنقطة التي تعمل الزاوية EMBED Equation.DSMT4 مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي و تبعد وحدة واحدة عن نقطة الأصل. من أهم الأسباب للاهتمام بهذه معادلة اويلر EMBED Equation.DSMT4 لنصل إلى هذه كمتطابقة نحتاج أن نعرف رفع عدد مركب إلى أس مركب و هذا سيخرجنا خارج نطاق اهتمامنا الحالي لذلك سنأخذها كمعطى بدون الدخول في التبرير. لاحظ أننا نستطيع استنتاج بعض خواص الدوال المثلثية من هذه المعادلة و خواص الأس مثلا لدينا أن EMBED Equation.DSMT4 إذا EMBED Equation.DSMT4 هذا يعطينا زوجية جيب التمام EMBED Equation.DSMT4 و فردية الجيب EMBED Equation.DSMT4 . كذلك من هذه المعادلة نستطيع استنتاج قواعد جمع و طرح الزوايا في حساب المثلثات.
EMBED Equation.DSMT4
حيث EMBED Equation.DSMT4 تتبع من قواعد الأسس ( EMBED Equation.DSMT4 ) الآن بضرب العددين المركبين في الطرف الأيمن من EMBED Equation.DSMT4 نجد أن
EMBED Equation.DSMT4 وبتعويض هذا في EMBED Equation.DSMT4 نحصل على قانوني الجمع
EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 كذلك بنفس الطريقة نجد أن
EMBED Equation.DSMT4 و حيث EMBED Equation.DSMT4 فبضرب العددين المركبين في الطرف الأيمن من EMBED Equation.DSMT4 نجد أن EMBED Equation.DSMT4 و بتعويض هذا في EMBED Equation.DSMT4 نجد أن EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4
قانون ديموافر و جذور الوحدة: قانون ديموافر ينص على أن EMBED Equation.DSMT4 هذه المعادلة ليست سوى قانون الأس و لكنها تشكل الأساس لحساب الجذور. سنبدأ بحساب جذور الوحدة أي EMBED Equation.DSMT4 هذه هي الأعداد المركبة التي تحقق EMBED Equation.DSMT4 و بما أن EMBED Equation.DSMT4 فإن هذا يصبح EMBED Equation.DSMT4 و حيث EMBED Equation.DSMT4 حقيقي فإن EMBED Equation.DSMT4 (لأن EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 ) إذاً EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 أي EMBED Equation.DSMT4 أو EMBED Equation.DSMT4 و جذور EMBED Equation.DSMT4 للوحدة لها الشكل EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 عدد صحيح. بما أنه بالقسمة يمكن كتابة أي EMBED Equation.DSMT4 على الشكل EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4 و بالتالي فإننا نستطيع اقتصار قيم EMBED Equation.DSMT4 إلى الأعداد EMBED Equation.DSMT4 و هذه الأعداد تعطينا جذور متباينة لأنه إذا EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4 و بالتالي فإن EMBED Equation.DSMT4 ليس من مضاعفات EMBED Equation.DSMT4 . الجذور السادسة للوحدة هي EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 هذا يعطينا جميع جذور الوحدة السادسة. لاحظ أنه إذا أخذنا EMBED Equation.DSMT4 فإن جذور EMBED Equation.DSMT4 للوحدة هي EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4
ملاحظة: إذا كان EMBED Equation.DSMT4 أي جذر EMBED Equation.DSMT4 للوحدة فإن EMBED Equation.DSMT4 و إذا كانت EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4
الجذور: لنحسب جذور EMBED Equation.DSMT4 للعدد المركب EMBED Equation.DSMT4 نبحث عن أعداد EMBED Equation.DSMT4 بحيث EMBED Equation.DSMT4 ليحصل التساوي نحتاج إلى EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 هذا يعطينا EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و كما عملنا فإننا نستطيع اقتصار قيم EMBED Equation.DSMT4 على EMBED Equation.DSMT4 و عندها ستكون الجذور متباينة فنحصل على EMBED Equation.DSMT4 جذر EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 مثلا الجذور الرابعة للعدد EMBED Equation.DSMT4 هي EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 أي EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4
ملاحظة: لاحظ أنه إذا EMBED Equation.DSMT4 هو جذر الوحدة البدائي فإن EMBED Equation.DSMT4 أي يمكننا الحصول على جميع الجذور بضرب أحدها في أسس جذور EMBED Equation.DSMT4 للوحدة. مثلا جذر الوحدة الرابع البدائي هو EMBED Equation.DSMT4 لو ضربنا EMBED Equation.DSMT4 في أسس EMBED Equation.DSMT4 فإننا نحصل على EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 فنحصل على جميع الجذور
الأعداد المركبة و المتطابقات: باستخدام ذات الحدين و قواعد الأسس نستطيع الحصول على متطابقات مفيدة بأخذ EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 عدد مركب ثم نستخدم ذات الحدين لفك EMBED Equation.DSMT4 باستخدام الجزء الحقيقي و التخيلي.
مثال1: إذا استخدمنا ذات الحدين لفك EMBED Equation.DSMT4 نجد أن EMBED Equation.DSMT4
و لكن EMBED Equation.DSMT4 إذاً EMBED Equation.DSMT4 و منه نجد أن
EMBED Equation.DSMT4 و
EMBED Equation.DSMT4
لاحظ أننا نستطيع الحصول على متطابقات أخرى بتطبيق عمليتي الجمع و الطرح على المتطابقتين و متطابقات أخرى مثل
EMBED Equation.DSMT4 و
EMBED Equation.DSMT4
مثال 2: لنستخدم الطريقة أعلاه لإيجاد المجموع EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 عدد صحيح نستخدم EMBED Equation.DSMT4 و نلاحظ أن
EMBED Equation.DSMT4
لترى ذلك لاحظ أن EMBED Equation.DSMT4 فإذا EMBED Equation.DSMT4 لا يقسم EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4 و بالتالي فإن EMBED Equation.DSMT4 أما إذا كان EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4 لكل EMBED Equation.DSMT4 و بالتالي فإن EMBED Equation.DSMT4 .
الآن نستخدم ذات الحدين EMBED Equation.DSMT4 مرّه لنجد أن
EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4
بجمع هذه المتطابقات نجد أن معامل EMBED Equation.DSMT4 في الطرف الأيمن هو EMBED Equation.DSMT4 و هذا سيكون صفري إذا EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 إذا EMBED Equation.DSMT4 إذاً فالمجموع هو EMBED Equation.DSMT4 و منه فإن EMBED Equation.DSMT4
إيجاد تعبير مناسب للطرف الأيمن يعتمد على قيمة EMBED Equation.DSMT4 مثلاً عندما EMBED Equation.DSMT4 ستكون EMBED Equation.DSMT4 نلاحظ أن EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 و منه EMBED Equation.DSMT4 إذاً EMBED Equation.DSMT4 لنحصل على تعبير مغلق لهذا نكتب EMBED Equation.DSMT4 في الصورة القطبية فنجد أن EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 أي EMBED Equation.DSMT4 إذاً EMBED Equation.DSMT4 هذا يعطينا EMBED Equation.DSMT4 إذاً EMBED Equation.DSMT4 و بطريقة مشابهة نجد أنه حيث EMBED Equation.DSMT4 صيغته القطبية EMBED Equation.DSMT4 حيث EMBED Equation.DSMT4 و EMBED Equation.DSMT4 أي EMBED Equation.DSMT4 فإن EMBED Equation.DSMT4 إذاً فإن EMBED Equation.DSMT4
إعداد/
أزهار الأسمري
سهاد الجارالله
مها الزهراني
الشكل 3
الشكل 4
This way my colleague Wesley Virgin's story launches in this shocking and controversial video.
ردحذفWesley was in the military-and soon after leaving-he found hidden, "SELF MIND CONTROL" tactics that the government and others used to get everything they want.
THESE are the exact same tactics lots of famous people (especially those who "became famous out of nothing") and the greatest business people used to become wealthy and famous.
You probably know that you use only 10% of your brain.
Really, that's because most of your brainpower is UNCONSCIOUS.
Maybe this thought has even taken place INSIDE your very own head... as it did in my good friend Wesley Virgin's head about seven years back, while riding a non-registered, beat-up bucket of a car without a license and with $3.20 on his bank card.
"I'm absolutely frustrated with living paycheck to paycheck! When will I get my big break?"
You've taken part in those types of thoughts, right?
Your success story is going to be written. You just have to take a leap of faith in YOURSELF.
CLICK HERE TO LEARN WESLEY'S SECRETS