Mathematics: Formal Definition of Polynomials التعريف الدقيق للحدوديات

Formal Definition of Polynomials

لتكن R حلقة^[م]. الحدودية على R هي متتابعة $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots )$ لعناصر من R بحيث $a_i = 0$ دائما ماعدا عند عدد محدود من الأدلة i, أي يوجد عدد صحيح m بحيث $a_i = 0$ لكل $i > m$ .

لتكن $R[x]$ مجموعة جميع الحدوديات على الحلقة R. إذا كانت $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots )$ , $g = (b_0 ,b_1 , \ldots ,b_n , \ldots )$ حدوديتين من $R[x]$ فنعرف جمعهما وضربهما كما يلي:

$\begin{array}{*{20}c} {f + g} \hfill & { = (a_0 + b_0 ,a_1 + b_1 , \ldots ,a_n + b_n , \ldots )} \hfill \\ {f \cdot g} \hfill & { = (c_0 ,c_1 , \ldots ,c_n. , \ldots )} \hfill \\ \end{array}$

حيث

$c_n = \sum\limits_{i + j = n}^{} {a_i b_j } = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0 = \sum\limits_{i = 0}^n {a_i b_{n - i} }$

على وجه الخصوص

$\begin{gathered} c_0 = a_0 b_0 \hfill \\ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 \hfill \\ c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 \hfill \\ c_3 = a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_0 b_3 \hfill \\ \end{gathered}$

بما أن f,g حدوديتين على R فإنه يوجد عددين صحيحين $n_1 ,n_2$ بحيث $a_i = 0$ لكل $i > n_1$ و $b_i = 0$ كل $i > n_2$ $a_i + b_i = 0$ لكل $i > \max (n_1 ,n_2 )$ وكذلك $c_i = 0$ لكل $i > n_1 + n_2$ . إذا كلا من $f + g$ و $f \cdot g$ حدوديتين على R وبالتالي $R[x]$ مغلقة تحت هاتين العمليتين. وبالتالي

المجموعة $R[x]$ المكونة من جميع الحدوديات $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots )$ تصبح حلقة تحت العمليتين $f + g$ و $f \cdot g$ وتسمى حلقة الحدوديات على R في متغير واحد x the ring of polynomials over R in one variable.

التطبيق^[م] من R إلى $R[x]$ المعرف بالعلاقة

$r \to (r,0,0, \ldots )$

هو تشاكل أحادي ولذلك يمكن أن نطابق R مع صورتها في $R[x]$ وننظر إلى R كحلقة جزئية من حلقة الحدوديات $R[x]$ $(r,0,0, \ldots )$ مع العنصر r. بموجب هذه المطابقة يكون لدينا حيث نطابق

$r(a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots ) = (ra_0 ,ra_1 , \ldots ,ra_n , \ldots )$

وبالتالي إذا كان $r = 1$ محايد للحلقة R فإن الحدودية $(1,0,0, \ldots )$ محايد الحلقة $R[x]$ .

لإكمال العمل نحتاج للحقيقة التالية

حقيقة: لتكن R حلقة بمحايد $1$ ولتكن $x = (0,1,0,0, \ldots )$ عندئذ

1. $x^n = (\underbrace {0,0, \ldots ,0}_{n{\text{ terms}}},1,0, \ldots )$ حيث $1$ في الإحداثي رقم $n + 1$ .

2. إذا كان $r \in R$ فإن $rx^n = x^n r = (\underbrace {0,0, \ldots ,0}_{n{\text{ terms}}},r,0, \ldots )$ وذلك لكل عدد صحيح $n \geqslant 0$ .

البرهان: إثبات 1. بالاستقراء الرياضي^[م]. بما أن $x = (0,1,0,0, \ldots )$ فإذا فرضنا صحة النتيجة^[م] عند m فإن

$x^m \cdot x = (\underbrace {0,0,0,0,0}_{{\text{m terms}}},1,0, \ldots ) \cdot(0,1,0,0, \ldots ) = x^{m + 1}$

وذلك لأن الإحداثي الغير صفري هو فقط الناتج من ضرب $a_1 = 1$ من الحدودية x في $a_m = 1$ من الحدودية $x^m$ وهو سيكون الحد $c_{m + 1}$ في $x^m \cdot x$ حسب تعريف ضرب الحدوديات.

لإثبات 2. إذا كانت $n = 0$ فإن $x^0 = (1,0,0, \ldots )$ المحايد في $R[x]$ وبالتالي ينتج بحساب مباشر حيث $r \cdot 1 = 1 \cdot r$ .

كتابة الحدودية بالشكل المألوف

ما توصلنا إليه للتو سيمكننا من التعبير عن f بالشكل المألوف

$f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$

لنفرض أن R حلقة ذات محايد ولتكن $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n ,0,0, \ldots )$ حدودية على R. إذا

$\begin{array}{*{20}c} f \hfill & = \hfill & {(a_0 ,0, \ldots ) + (0,a_1 ,0, \ldots ) + (0,0,a_2 ,0, \ldots ) \cdots + (0,0, \ldots ,a_n ,0, \ldots )} \hfill \\ {} \hfill & = \hfill & {(a_0 ,0,0, \ldots )(1,0,0, \ldots ) + (a_1 ,0,0, \ldots )(0,1,0, \ldots ) + } \hfill \\ {} \hfill & {} \hfill & {(a_2 ,0,0, \ldots )(0,0,1,0, \ldots ) + \cdots + (a_n ,0,0, \ldots )(0,0, \ldots ,1,0,0, \ldots )} \hfill \\ {} \hfill & = \hfill & {a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n } \hfill \\ \end{array}$

لتمديد هذا التمثيل ليشمل حدوديات على حلقة R ليس لها محايد نبدأ أولا بغمر R في حلقة S ذات محايد $1_s$ . إذا R عبارة عن حلقة جزئية من S. من السهل التحقق من أن $R[x]$ حلقة جزئية من $S[x]$ وبالتالي الحدودية

$f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n ,0,0, \ldots )$

من $R[x]$ يمكن كتابتها في الصورة

$f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$

حيث $a_i \in R \subset S$ و $x = (0,1_s ,0,0, \ldots )$ . الفرق الأساسي بين هذا وبين الحالة السابقة التي فيها R بمحايد أن x هنا لا تنتمي إلى $R[x]$ .

من جميع ما سبق اتضح لنا الأساس الذي بناء عليه نجد أن أغلب المقررات تقدم تعريف الحدودية على حلقة R (ذات محايد أو ليس لها محايد) على أنها تعبير رياضي على الشكل

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$

حيث $a_i \in R$ . هذا التعبير يبين وجه التشابه بين الحدودية والدالة الحدودية والذي يفيد في نواحي نظرية^[م] ولكنه قد يسبب خلط لدى القارئ بين الحدودية وبين الدالة الحدودية polynomial function.

تعريف حلقة الحدوديات في أكثر من متغير أمر ممكن , على سبيل المثال حلقة الحدوديات $R[x,y]$ في المتغيرين x,y ما هي إلا $R[x][y]$ .

الطالبات

مها عبد الله آل حمد

هيا محمد السّليم

من شعبة : R6

هناك تعليق واحد:

Blog279991 مارس 2020 في 12:59 ص
If you're trying hard to lose pounds then you have to jump on this totally brand new personalized keto meal plan diet.

To produce this service, certified nutritionists, fitness trainers, and professional cooks have united to develop keto meal plans that are useful, convenient, money-efficient, and fun.

Since their grand opening in early 2019, 1000's of clients have already remodeled their body and well-being with the benefits a great keto meal plan diet can give.

Speaking of benefits: in this link, you'll discover eight scientifically-certified ones offered by the keto meal plan diet.
ردحذف
الردود

إضافة تعليق

Mathematics

الثلاثاء، 30 نوفمبر 2010

Formal Definition of Polynomials التعريف الدقيق للحدوديات

هناك تعليق واحد:

أرشيف المدونة الإلكترونية