Mathematics: نوفمبر 2010

Formal Definition of Polynomials

لتكن R حلقة^[م]. الحدودية على R هي متتابعة $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots )$ لعناصر من R بحيث $a_i = 0$ دائما ماعدا عند عدد محدود من الأدلة i, أي يوجد عدد صحيح m بحيث $a_i = 0$ لكل $i > m$ .

لتكن $R[x]$ مجموعة جميع الحدوديات على الحلقة R. إذا كانت $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots )$ , $g = (b_0 ,b_1 , \ldots ,b_n , \ldots )$ حدوديتين من $R[x]$ فنعرف جمعهما وضربهما كما يلي:

$\begin{array}{*{20}c} {f + g} \hfill & { = (a_0 + b_0 ,a_1 + b_1 , \ldots ,a_n + b_n , \ldots )} \hfill \\ {f \cdot g} \hfill & { = (c_0 ,c_1 , \ldots ,c_n. , \ldots )} \hfill \\ \end{array}$

حيث

$c_n = \sum\limits_{i + j = n}^{} {a_i b_j } = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1} + \cdots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0 = \sum\limits_{i = 0}^n {a_i b_{n - i} }$

على وجه الخصوص

$\begin{gathered} c_0 = a_0 b_0 \hfill \\ c_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 \hfill \\ c_2 = a_0 b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 \hfill \\ c_3 = a_0 b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_0 b_3 \hfill \\ \end{gathered}$

بما أن f,g حدوديتين على R فإنه يوجد عددين صحيحين $n_1 ,n_2$ بحيث $a_i = 0$ لكل $i > n_1$ و $b_i = 0$ كل $i > n_2$ $a_i + b_i = 0$ لكل $i > \max (n_1 ,n_2 )$ وكذلك $c_i = 0$ لكل $i > n_1 + n_2$ . إذا كلا من $f + g$ و $f \cdot g$ حدوديتين على R وبالتالي $R[x]$ مغلقة تحت هاتين العمليتين. وبالتالي

المجموعة $R[x]$ المكونة من جميع الحدوديات $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots )$ تصبح حلقة تحت العمليتين $f + g$ و $f \cdot g$ وتسمى حلقة الحدوديات على R في متغير واحد x the ring of polynomials over R in one variable.

التطبيق^[م] من R إلى $R[x]$ المعرف بالعلاقة

$r \to (r,0,0, \ldots )$

هو تشاكل أحادي ولذلك يمكن أن نطابق R مع صورتها في $R[x]$ وننظر إلى R كحلقة جزئية من حلقة الحدوديات $R[x]$ $(r,0,0, \ldots )$ مع العنصر r. بموجب هذه المطابقة يكون لدينا حيث نطابق

$r(a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots ) = (ra_0 ,ra_1 , \ldots ,ra_n , \ldots )$

وبالتالي إذا كان $r = 1$ محايد للحلقة R فإن الحدودية $(1,0,0, \ldots )$ محايد الحلقة $R[x]$ .

لإكمال العمل نحتاج للحقيقة التالية

حقيقة: لتكن R حلقة بمحايد $1$ ولتكن $x = (0,1,0,0, \ldots )$ عندئذ

1. $x^n = (\underbrace {0,0, \ldots ,0}_{n{\text{ terms}}},1,0, \ldots )$ حيث $1$ في الإحداثي رقم $n + 1$ .

2. إذا كان $r \in R$ فإن $rx^n = x^n r = (\underbrace {0,0, \ldots ,0}_{n{\text{ terms}}},r,0, \ldots )$ وذلك لكل عدد صحيح $n \geqslant 0$ .

البرهان: إثبات 1. بالاستقراء الرياضي^[م]. بما أن $x = (0,1,0,0, \ldots )$ فإذا فرضنا صحة النتيجة^[م] عند m فإن

$x^m \cdot x = (\underbrace {0,0,0,0,0}_{{\text{m terms}}},1,0, \ldots ) \cdot(0,1,0,0, \ldots ) = x^{m + 1}$

وذلك لأن الإحداثي الغير صفري هو فقط الناتج من ضرب $a_1 = 1$ من الحدودية x في $a_m = 1$ من الحدودية $x^m$ وهو سيكون الحد $c_{m + 1}$ في $x^m \cdot x$ حسب تعريف ضرب الحدوديات.

لإثبات 2. إذا كانت $n = 0$ فإن $x^0 = (1,0,0, \ldots )$ المحايد في $R[x]$ وبالتالي ينتج بحساب مباشر حيث $r \cdot 1 = 1 \cdot r$ .

كتابة الحدودية بالشكل المألوف

ما توصلنا إليه للتو سيمكننا من التعبير عن f بالشكل المألوف

$f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$

لنفرض أن R حلقة ذات محايد ولتكن $f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n ,0,0, \ldots )$ حدودية على R. إذا

$\begin{array}{*{20}c} f \hfill & = \hfill & {(a_0 ,0, \ldots ) + (0,a_1 ,0, \ldots ) + (0,0,a_2 ,0, \ldots ) \cdots + (0,0, \ldots ,a_n ,0, \ldots )} \hfill \\ {} \hfill & = \hfill & {(a_0 ,0,0, \ldots )(1,0,0, \ldots ) + (a_1 ,0,0, \ldots )(0,1,0, \ldots ) + } \hfill \\ {} \hfill & {} \hfill & {(a_2 ,0,0, \ldots )(0,0,1,0, \ldots ) + \cdots + (a_n ,0,0, \ldots )(0,0, \ldots ,1,0,0, \ldots )} \hfill \\ {} \hfill & = \hfill & {a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n } \hfill \\ \end{array}$

لتمديد هذا التمثيل ليشمل حدوديات على حلقة R ليس لها محايد نبدأ أولا بغمر R في حلقة S ذات محايد $1_s$ . إذا R عبارة عن حلقة جزئية من S. من السهل التحقق من أن $R[x]$ حلقة جزئية من $S[x]$ وبالتالي الحدودية

$f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n ,0,0, \ldots )$

من $R[x]$ يمكن كتابتها في الصورة

$f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$

حيث $a_i \in R \subset S$ و $x = (0,1_s ,0,0, \ldots )$ . الفرق الأساسي بين هذا وبين الحالة السابقة التي فيها R بمحايد أن x هنا لا تنتمي إلى $R[x]$ .

من جميع ما سبق اتضح لنا الأساس الذي بناء عليه نجد أن أغلب المقررات تقدم تعريف الحدودية على حلقة R (ذات محايد أو ليس لها محايد) على أنها تعبير رياضي على الشكل

$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots + a_n x^n$

حيث $a_i \in R$ . هذا التعبير يبين وجه التشابه بين الحدودية والدالة الحدودية والذي يفيد في نواحي نظرية^[م] ولكنه قد يسبب خلط لدى القارئ بين الحدودية وبين الدالة الحدودية polynomial function.

تعريف حلقة الحدوديات في أكثر من متغير أمر ممكن , على سبيل المثال حلقة الحدوديات $R[x,y]$ في المتغيرين x,y ما هي إلا $R[x][y]$ .

الطالبات

مها عبد الله آل حمد

هيا محمد السّليم

من شعبة : R6

Mathematics

الثلاثاء، 30 نوفمبر 2010

Formal Definition of Polynomials التعريف الدقيق للحدوديات

أرشيف المدونة الإلكترونية