الاعداد المركبه

الأعداد المركبة: حل المعادلة التربيعية  EMBED Equation.DSMT4   هو  EMBED Equation.DSMT4  . هذه الحلول كانت معروفة من آلاف السنين و لكن وجهة النظر كانت أن هذه المعادلة تعطينا جذور فقط عندما تكون  EMBED Equation.DSMT4   ولكن الرياضيين وجدوا أن رفضهم قبول جذور لأعداد سالبة يؤدي إلى تعقيدات كثيرة يمكن تجنبها و أنه كما كان قبول الأعداد السالبة و الصفر سبب في تبسيط الجبر فإن قبول الأعداد المركبة سيؤدي إلى تبسيط الجبر. في الواقع احد النتائج المهمة في الرياضيات (النظرية الأساسية في الجبر) تنص على أن أي كثيرة حدود غير ثابتة لها جذور مركبة. اليوم أصبحت الأعداد المركبة الأساس الذي تبنى عليه بعض من أهم فروع الرياضيات. 

في الأعداد المركبة نضيف إلى الأعداد الصحيحة جذور للأعداد السالبة. بما أن كل عدد سالب يساوي حاصل ضرب  EMBED Equation.DSMT4   في عدد موجب و للعدد الموجب جذر تربيعي حقيقي فإنه يمكن كتابة جذره على الشكل  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   عدد حقيقي. فنعرِّف الأعداد المركبة على أنها تعبيرات على الشكل  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   أعداد حقيقية و  EMBED Equation.DSMT4   عدد جديد نأخذه كجذر تربيعي للعدد  EMBED Equation.DSMT4   سنرمز لهذا العدد بالرمز  EMBED Equation.DSMT4     EMBED Equation.DSMT4   يسمى الجزء الحقيقي من العدد المركب  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   يسمى الجزء التخيلي

العمليات الحسابية: تعريف الجمع و الطرح هو التعريف المتوقع فنجمع الأجزاء الحقيقية معاً و الأجزاء التخيلية معاً أي

 EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   الضرب أيضاً كما نتوقع: يحدده التوزيع و كون  EMBED Equation.DSMT4   أي

 EMBED Equation.DSMT4   

فجزئه الحقيقي هو ناتج طرح حاصل ضرب التخيلين من حاصل ضرب الحقيقين و جزئه التخيلي هو مجموع حاصل ضرب حقيقي الأول في تخيلي الثاني مع حاصل ضرب تخيلي الأول في حقيق الثاني. مثلا  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4  

المرافق و المقياس و القسمة:  إذا كان  EMBED Equation.DSMT4   عدد مركب فمرافق  EMBED Equation.DSMT4   هو العدد المركب  EMBED Equation.DSMT4   لاحظ أننا استخدمنا خطاً فوق العدد لنرمز لمرافقه. مثلا  EMBED Equation.DSMT4   أهمية المرافق تكمن في كون  EMBED Equation.DSMT4   حقيقي فإذا  EMBED Equation.DSMT4   فإن  EMBED Equation.DSMT4  

هذا عدد حقيقي غير سالب جذره ألتربيعي يسمى مقياس العدد  EMBED Equation.DSMT4   و يرمز له بوضع العدد بين خطين عموديين أي  EMBED Equation.DSMT4   

العدد المركب الصفري هو  EMBED Equation.DSMT4   الذي جزئه الحقيقي و جزئه التخيلي صفريين. إذا كان  EMBED Equation.DSMT4   لا صفري فإن  EMBED Equation.DSMT4   أو  EMBED Equation.DSMT4   و بالتالي فإن  EMBED Equation.DSMT4   و بقسمة طرفي  EMBED Equation.DSMT4   على  EMBED Equation.DSMT4   نجد أن  EMBED Equation.DSMT4   إذا نستطيع أخذ المقلوب  EMBED Equation.DSMT4   مثلاً مقلوب  EMBED Equation.DSMT4   هو   EMBED Equation.DSMT4   من اجل التوضيح سنحسب حاصل الضرب  EMBED Equation.DSMT4   المقلوب يمكِّننا من إجراء عملية القسمة لأنه إذا  EMBED Equation.DSMT4   أعداد مركبة حيث  EMBED Equation.DSMT4   فإن  EMBED Equation.DSMT4   (هذا هو العدد الذي حاصل ضربه في  EMBED Equation.DSMT4   يساوي  EMBED Equation.DSMT4   ) مثلاً  EMBED Equation.DSMT4   

سنسرد بعض خواص هذه العمليات هنا و حيث إثباتها يتبع بالحساب المباشر فإننا سنترك هذه الإثباتات كتمارين

ملاحظة: من العلاقات التي تستخدم بكثرة كون  EMBED Equation.DSMT4   إذا كان  EMBED Equation.DSMT4  

التمثيل الهندسي للإعداد المركبة: في التمثيل الهندسي نستخدم محورين. المحور الحقيقي عادة يرسم أفقيا مع كون الاتجاه الموجب إلى اليمين و المحور التخيلي يرسم عادة عموديا و الاتجاه الموجب إلى أعلى. و نمثل العدد المركب  EMBED Equation.DSMT4   بالنقطة التي إسقاطها على المحور الحقيقي يقاطعه في النقطة  EMBED Equation.DSMT4   و إسقاطها على المحور التخيلي يقاطعه في النقطة التي إحداثياتها الديكارتية هي  EMBED Equation.DSMT4   (انظر الشكل 3). 

الصيغة القطبية للأعداد المركبة: من أهم ما نستخلصه من تفسيرنا الهندسي للأعداد إمكانية استخدام الإحداثيات القطبية. هذه ستعطينا الصيغة القطبية للأعداد المركبة. لنذكر أنه في الإحداثيات القطبية للنقطة نستخدم مقدارين  EMBED Equation.DSMT4   و هي مسافتها من نقطة الأصل و  EMBED Equation.DSMT4   و هي الزاوية من النصف الموجب للمحور الحقيق و الشعاع من نقطة الأصل إلى النقطة. (انظر الشكل 4) طبعا الزاوية  EMBED Equation.DSMT4   معرفة إلى مضاعف من  EMBED Equation.DSMT4   أي إذا كانت  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   قيمتين للزاوية  EMBED Equation.DSMT4   لنقطة ما فإن  EMBED Equation.DSMT4   (أي الفرق بينهما هو  EMBED Equation.DSMT4   دوران تام) التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية سهل فلدينا أن  EMBED Equation.DSMT4   هي الإحداثيات الديكارتية للنقطة فالصيغة الديكارتية للنقطة هي  EMBED Equation.DSMT4  

معادلة أويلر: المقدار  EMBED Equation.DSMT4   بالغ الأمية فهي الإحداثيات الديكارتية للنقطة التي تعمل الزاوية  EMBED Equation.DSMT4   مع الاتجاه الموجب للمحور الحقيقي و تبعد وحدة واحدة عن نقطة الأصل. من أهم الأسباب للاهتمام بهذه معادلة اويلر  EMBED Equation.DSMT4   لنصل إلى هذه كمتطابقة نحتاج أن نعرف رفع عدد مركب إلى أس مركب و هذا سيخرجنا خارج نطاق اهتمامنا الحالي لذلك سنأخذها كمعطى بدون الدخول في التبرير. لاحظ أننا نستطيع استنتاج بعض خواص الدوال المثلثية من هذه المعادلة و خواص الأس مثلا لدينا أن  EMBED Equation.DSMT4   إذا  EMBED Equation.DSMT4   هذا يعطينا زوجية جيب التمام  EMBED Equation.DSMT4   و فردية الجيب  EMBED Equation.DSMT4  . كذلك من هذه المعادلة نستطيع استنتاج قواعد جمع و طرح الزوايا في حساب المثلثات. 

  EMBED Equation.DSMT4  

  حيث  EMBED Equation.DSMT4   تتبع من قواعد الأسس (  EMBED Equation.DSMT4   ) الآن بضرب  العددين المركبين في الطرف الأيمن من  EMBED Equation.DSMT4   نجد أن 

 EMBED Equation.DSMT4   وبتعويض هذا في  EMBED Equation.DSMT4   نحصل على قانوني الجمع

 EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   كذلك بنفس الطريقة نجد أن

 EMBED Equation.DSMT4     و حيث  EMBED Equation.DSMT4    فبضرب العددين المركبين في الطرف الأيمن من  EMBED Equation.DSMT4   نجد أن   EMBED Equation.DSMT4      و بتعويض هذا في  EMBED Equation.DSMT4   نجد أن  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4  

قانون ديموافر و جذور الوحدة: قانون ديموافر ينص على أن  EMBED Equation.DSMT4   هذه المعادلة ليست سوى قانون الأس و لكنها تشكل الأساس لحساب الجذور. سنبدأ بحساب جذور الوحدة أي  EMBED Equation.DSMT4   هذه هي الأعداد المركبة التي تحقق  EMBED Equation.DSMT4   و بما أن  EMBED Equation.DSMT4   فإن هذا يصبح  EMBED Equation.DSMT4   و حيث  EMBED Equation.DSMT4   حقيقي فإن  EMBED Equation.DSMT4   (لأن  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   ) إذاً  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   أي  EMBED Equation.DSMT4   أو  EMBED Equation.DSMT4   و جذور  EMBED Equation.DSMT4   للوحدة لها الشكل  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   عدد صحيح. بما أنه بالقسمة يمكن كتابة أي  EMBED Equation.DSMT4   على الشكل  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   فإن  EMBED Equation.DSMT4   و بالتالي فإننا نستطيع اقتصار قيم  EMBED Equation.DSMT4   إلى الأعداد  EMBED Equation.DSMT4   و هذه الأعداد تعطينا جذور متباينة لأنه إذا  EMBED Equation.DSMT4   فإن  EMBED Equation.DSMT4   و بالتالي فإن  EMBED Equation.DSMT4   ليس من مضاعفات  EMBED Equation.DSMT4  . الجذور السادسة للوحدة هي  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   هذا يعطينا جميع جذور الوحدة السادسة. لاحظ أنه إذا أخذنا  EMBED Equation.DSMT4   فإن جذور  EMBED Equation.DSMT4   للوحدة هي  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   

ملاحظة: إذا كان  EMBED Equation.DSMT4   أي جذر  EMBED Equation.DSMT4   للوحدة فإن  EMBED Equation.DSMT4   و إذا كانت  EMBED Equation.DSMT4   فإن  EMBED Equation.DSMT4  

الجذور: لنحسب جذور  EMBED Equation.DSMT4   للعدد المركب  EMBED Equation.DSMT4    نبحث عن أعداد  EMBED Equation.DSMT4   بحيث  EMBED Equation.DSMT4   ليحصل التساوي نحتاج إلى  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   هذا يعطينا  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و كما عملنا فإننا نستطيع اقتصار قيم  EMBED Equation.DSMT4   على  EMBED Equation.DSMT4   و عندها ستكون الجذور متباينة فنحصل على  EMBED Equation.DSMT4   جذر  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   مثلا الجذور الرابعة للعدد  EMBED Equation.DSMT4   هي  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   أي  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   

ملاحظة: لاحظ أنه إذا  EMBED Equation.DSMT4   هو جذر الوحدة البدائي فإن  EMBED Equation.DSMT4    أي يمكننا الحصول على جميع الجذور بضرب أحدها في أسس جذور  EMBED Equation.DSMT4   للوحدة. مثلا جذر الوحدة الرابع البدائي هو  EMBED Equation.DSMT4   لو ضربنا  EMBED Equation.DSMT4   في أسس  EMBED Equation.DSMT4   فإننا نحصل على  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   فنحصل على جميع الجذور

الأعداد المركبة و المتطابقات: باستخدام ذات الحدين و قواعد الأسس نستطيع الحصول على متطابقات مفيدة بأخذ  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   عدد مركب ثم نستخدم ذات الحدين لفك  EMBED Equation.DSMT4   باستخدام الجزء الحقيقي و التخيلي.

مثال1: إذا استخدمنا ذات الحدين لفك  EMBED Equation.DSMT4   نجد أن  EMBED Equation.DSMT4   

 و لكن  EMBED Equation.DSMT4   إذاً  EMBED Equation.DSMT4    و منه نجد أن

 EMBED Equation.DSMT4   و

 EMBED Equation.DSMT4  

لاحظ أننا نستطيع الحصول على متطابقات أخرى بتطبيق عمليتي الجمع و الطرح على المتطابقتين و متطابقات أخرى مثل

 EMBED Equation.DSMT4   و

 EMBED Equation.DSMT4  

مثال 2: لنستخدم الطريقة أعلاه لإيجاد المجموع  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   عدد صحيح نستخدم  EMBED Equation.DSMT4   و نلاحظ أن

 EMBED Equation.DSMT4  

لترى ذلك لاحظ أن  EMBED Equation.DSMT4   فإذا  EMBED Equation.DSMT4   لا يقسم  EMBED Equation.DSMT4   فإن  EMBED Equation.DSMT4   و بالتالي فإن  EMBED Equation.DSMT4   أما إذا كان  EMBED Equation.DSMT4   فإن  EMBED Equation.DSMT4   لكل  EMBED Equation.DSMT4   و بالتالي فإن   EMBED Equation.DSMT4  . 

الآن نستخدم ذات الحدين  EMBED Equation.DSMT4   مرّه لنجد أن 

 EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4   EMBED Equation.DSMT4  

بجمع هذه المتطابقات نجد أن معامل  EMBED Equation.DSMT4   في الطرف الأيمن هو  EMBED Equation.DSMT4   و هذا سيكون صفري إذا  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   إذا  EMBED Equation.DSMT4   إذاً فالمجموع هو   EMBED Equation.DSMT4   و منه فإن  EMBED Equation.DSMT4   

إيجاد تعبير مناسب للطرف الأيمن يعتمد على قيمة  EMBED Equation.DSMT4   مثلاً عندما  EMBED Equation.DSMT4   ستكون  EMBED Equation.DSMT4   نلاحظ أن  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   و منه  EMBED Equation.DSMT4   إذاً  EMBED Equation.DSMT4   لنحصل على تعبير مغلق لهذا نكتب  EMBED Equation.DSMT4   في الصورة القطبية فنجد أن  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   أي  EMBED Equation.DSMT4   إذاً  EMBED Equation.DSMT4   هذا يعطينا  EMBED Equation.DSMT4   إذاً  EMBED Equation.DSMT4   و بطريقة مشابهة نجد أنه حيث  EMBED Equation.DSMT4   صيغته القطبية  EMBED Equation.DSMT4   حيث  EMBED Equation.DSMT4   و  EMBED Equation.DSMT4   أي  EMBED Equation.DSMT4    فإن  EMBED Equation.DSMT4    إذاً فإن  EMBED Equation.DSMT4  

 إعداد/

أزهار الأسمري

سهاد الجارالله

مها الزهراني

الشكل 3

الشكل 4

توحيد المقامات

توحيد المقامات

توحيد المقامات هو مفهوم رياضي لتسهيل جمع أو طرح الكسور، الفكرة الأساسية من وراءه تتمثل في أن جمع أي كسرين يمكن تبسيطه عن طريق إشتراك الكسرين بذات المقام، وهو الأمر الذي



يعني ببساطة الحديث عن نفس الوحدة عند جمع البسط. فمثلا، الأنصاف والأرباع يمكن جمعها عند توحيد القيم المراد جمعها على أنها أرباع، وذلك بمضاعفة عدد الأنصاف لدى تحولها إلى أرباع،



فمجموع النصف والربع هو عبارة عن مجموع الربعين والربع، حيث كل نصف هو عبارة عن ربعين. في المستوى النظري، لا يهم ما هي القيم التي يتم ضرب الكسور بها من أجل الوصول إلى مقامات



مشتركة، لكن على المستوى العملي، فإن الطريقة الأسهل للوصول إلى مقامات موحدة هي ضرب كل من البسط والمقام لكل كسر بمقام الكسر الآخر، مما ينتج عنه عدد مشترك في المقام،



وبالتالي تصبح عملية جمع الكسور لا تحتاج أكثر من جمع قيم البسط (الناتجة بعد الضرب في المقام الآخر) واستخدام المقام الموحد


\

في المثال الأعلى نقوم بعملية توحيد لمفامين مختلفين بالقيمة حيث نضرب مقام العدد الأول بالعدد الثاني ومقام العدد الثاني بالعدد الأول.



في الرياضيات هو كتابة الكسور النسبية بشكل يكون فيه قيمة مقام الكسر موحدة. بحيث تصبح عمليات الجمع والطرح بينهما صحيحة، إذ لا يجوز تطبيق عمليات الطرح البسيطة بين بسطي كسرين



دون توحيد المقامات.



تعرف أيضا عملية توحيد المقامات بإيجاد قاسم مشترك بين أرقام كسرية، على سبيل المثال يسهل تمثيل كسور بأثمان تجمع وتطرح من أثمان على تمثيل كسور تمثل أنصاف تجمع إليها أثمان أو



تطرح منها، وبالتالي، فإن تحويل النصف إلى ما يكافئه من الأثمان، وهم أربعة أثمان يسهل حساب مجموع النصف وثلاثة أثمان، حيث يكون الجواب بالأثمان، وهو حاصل جمع أربعة أثمان وثلاثة أثمان، أي



سبعة أثمان.



يمكن توحيد المقامات بأكثر من طريقة، ويعتبر ضرب بسط ومقام الكسر الأول بمقام الكسر الثاني وضرب بسط ومقام الكسر الثاني بمقام الأول أسهلها من حيث التطبيق، فبما أن الضرب عملية



تبديلية، فإن المقام الأول مضروبا بالمقام الثاني سيساوي المقام الثاني مضروبا بالأول، وبالتالي يتحقق توحيد المقامين.



يمكن توحيد المقامات بأي عملية ضرب أو قسمة تطبّق على كل من بسط ومقام الكسر، فمثلا، مجموع الكسرين 2/6 و 4/3 يمكن تبسيط الأول إلى 1/3 بقسمة كل من البسط والمقام على 2،



وبالتالي يتم توحيد المقامات بين الكسرين (وقيمة المقام في هذه الحالة 3) ويمكن جمع قيم البسطين 1 و 4 فيكون الكسر الناتج 5/3.







امثله لتوحيد المقامات ::-





هناك اكثر من طريقة للتوحيد ما بين المقامات



الطريقة الاولى : أ/ب + جـ / د = أد / ب د + ج ب / د ب

اي اننا ضربنا كل كسر في مقام الكسر الاخر



الطريقة الثانية : أ/ب + ج/د = ( أد + ج ب ) / ب د

أي اننا ضربنا بطريقة المقص ووضعنا الناتج بالبسط وضربنا المقامات ووضعنا الناتج في المقام وهذه الطريقة اختصار للطريقة الاولى





الطريقة الثالثة : اذا كان المضاعف المشترك الاصغر بين المقامين لا يساوي حاصل ضربهما

فاننا نوجد كسرين مكافئين للكسرين الموجودين مقامهما هو المضاعف المشترك الاصغر للمقامين



أمثلة :



الطريقة الاولى :

1/2 + 3/5 = ( 1× 5) / ( 2×5 ) + ( 3 ×2 ) / ( 5 × 2 ) = 5/ 10 + 6/10 = ( 5 +6 ) / 10 = 11/10

هنا ضربنا كل كسر في مقام الكسر الاخر



الطريقة الثانية :

1/2 + 3/5 = [( 1×5 ) + (2×3)] / (2×5) = [ 5 + 6 ] / 10 = 11 / 10

نلاحظ اننا ضربنا كل بسط كسر في مقام الكسر الاخر وجمعنا حاصلي الضرب وهذا كله في بسط الناتج وضربنا المقامين وهذا في مقام الناتج



الطريقة الثالثة :



5/6 + 3/8 = ( 5 × 4 ) / ( 6 × 4 ) + ( 3×3 ) / (8×3) = 20/24 + 9/24 = ( 20 + 9 ) / 24 = 29/24



نلاحظ ان المضاعف المشترك الاصغر للمقامين 6 , 8 هو 24 وليس 48 ( حاصل الضرب )

بالتالي نضرب كل كسر من الكسرين بعدد بحيث يكون ناتج المقام 24

6×4 = 24 بالتالي ضربنا الكسر الاول في 4

8×3 = 24 بالتالي ضربنا الكسر الثاني في 3



ولا ننسى انه اذا ضربنا اي عدد في المقام لابد ان نضرب نفس هذا العدد في البسط لكي يكون كسرا مكافئا



إنك تضرب مقام الأول في مقام الثاني



ثم



تضرب الطرفين في الوسطين



مثال



5 / 3 + 4 / 2 __ _ _ _ _ _ _ ضرب مقام الأول في مقام الثاني



2 × 3 = 6 _ _ _ _ _ _ _أنتالحين طلعت المقام الموحد الحين إضرب الطرفين في الوسطين



= 2× 5 + 3 × 4 كل هذا بسط على المقام وهو 6



= 10 + 12 / 6 = 22 / 6 _ _ _ _ _ _ _بالتبسيط = 11 / 3



الطرقة الثانية



زي مثلا يكون عندك أرقام كبيرة



58 / 81 + 6 / 3 _ _ _ _ _ في هذه الحالة إذا ضربت مقام الأول في مقام الثاني راح يطلع مقام كبير



فتجعل المقام هو 81 فبالتالي التغير سيكون في الكسر الثاني فقط فيكون لأ 81 هو من مضاعفات 3



فيكون



58 / 81 + 6 × 27 / 3 × 27



= 58 / 81 + 162 / 81

= 220 / 81


اذا كان عندك كسرين مقاماتها مختلفة فيه اكثر من طريقة لتوحيد المقامات ثم جمعها أو طرحها :-

1- ايجاد كسور مكافئة : (ضرب البسط والمقام ) بنفس العدد (نضربها في 2 ،بعدين 3 ، بعدين 4 ........) إلى أن تظهر المقامات في الكسرين متشابهة . ثم نأخذ الكسرين اللي طلعت مقاماتها متشابهه نرتبها ونجمع أو نطرح البسط على حسب الإشارة، والمقام ينزل كما هو .

2- بطريقة توحيد المقامات : أي ضرب المقامات ببعضها ثم نضرب الطرفين في الوسطين ونكمل بنفس الطريقة الأولى نرتبها ثم نجمع أو نطرح والمقام ينزل .







عمــــل ::-


الطـــالبه : انفال الشدوخي ..

الطـــالبه : نورة جمــال ..

الطالبـه : ريم الفاضل ..

شعبــه : R6 ..

 

Square Roots

Square Roots

 Introduction & Simplification:-

"Roots" (or "radicals") are the "opposite" operation of applying exponents; you can "undo" a power with a radical, and a radical can "undo" a power. For instance, if you square 2, you get 4, and if you "take the square root of 4", you get 2; if you square 3, you get 9, and if you "take the square root of 9", you get 3:

                 

                          

The " " symbol is called the "radical"symbol. (Technically, just the "check mark" part of the symbol is the radical; the line across the top is called the "vinculum".) The expression " " is read as "root nine", "radical nine", or "the square root of nine".

Simplifying Square-Root Terms:-

To simplify a square root, you "take out" anything that is a "perfect square"; that is, you take out front anything that has two copies of the same factor:

  

                                

Note that the value of the simplified radical is positive. While either of +2 and –2 might have been squared to get 4, "the square root of four" is defined to be only the positive option, +2. When you solve the equation x² = 4, you are trying to find all possible values that might have been squared to get 4. But when you are just simplifying the expression , the ONLY answer is "2"; this positive result is called the "principal" root. (Other roots, such as –2, can be defined using graduate-school topics like "complex analysis" and "branch functions", but you won't need that for years, if ever.)

Sometimes the argument of a radical is not a perfect square, but it may "contain" a square amongst its factors. To simplify, you need to factor the argument and "take out" anything that is a square; you find anything you've got a pair of inside the radical, and you move it out front. To do this, you use the fact that you can switch between the multiplication of roots and the root of a multiplication. In other words, radicals can be manipulated similarly to powers:

• Simplify

·         There are various ways I can approach this simplification. One would be by factoring and then taking two different square roots:

The square root of 144 is 12

•    Simplify

Neither of 24 and 6 is a square, but what happens if I multiply them inside one radical?

• Simplify

Multiplying Square Roots:-

The first thing you'll learn to do with square roots is "simplify" terms that add or multiply roots.

Simplifying multiplied radicals is pretty simple. We use the fact that the product of two radicals is the same as the radical of the product, and vice versa.

• Write as the product of two radicals: 

  Copyright © Elizabeth Stapel 1999-2009 All Rights Reserved

Okay, so that manipulation wasn't very useful. But working in the other direction can be helpful:

• Simplify by writing with no more than one radical:

Adding (and Subtracting) Square Roots:-

Simplify: 

Simplify: 

·  

Conjugates / Dividing by Square Roots:-

·         Simplify

I do the multiplication:

Then I complete the calculations by simplifying:

Dividing by Square Roots

Just as you can swap between the multiplication of radicals and a radical containing a multiplication, so also you can swap between the division of roots and one root containing a division.

• Simplify:  

I can simplify this by working inside, and then taking the square root:

...or else by splitting the division into two radicals, simplifying, and cancelling:

·   Simplify:   =

·  

·                                               Prepared by:-

1-Faizah alotaibi              2-Shrooq alotaibi              3-Zahra haddadi



ولتحميل الورد من هذا الرابط
اضغط هنا لتحميل

القيمة المظلقة

القيمة المطلقة

                بالإنكليزية: Absolute Value) | | . | | هي دالة رياضية تخضع للمواصفات الثلاثة التالية:

• إذا كان | | u | | يساوي صفرا فإنه حتما u = 0 أي أنه في حالة فإن | | u | | أكبر من صفر
• | | λu | | = | λ | . | | u | |

مخطط بياني يوضح دالة القيمة المطلقة للاعداد الحقيقية.

و على هذا الأساس يمكن بناء العديد من الدالات يمكن اعتبارها كلها قيما مطلقة إذا إستوفت الشروط المذكورة أعلاه. ولعل أشهر هذه القيم المطلقة القيمة المطلقة الإقليدية. وفي كل الأحوال تعبر القيمة المطلقة عن طول أو مسافة بين الكائنات الرياضية

خلفية المصطلح والرمز

بدأ استخدام مصطلح القيمة المطلقة في القرن التاسع عشر اما الرمز فقد أدخله عالم الرياضيات الألماني كارل وييرستراس Karl Weierstrass عام 1841.

قيمة مطلقة لعدد حقيقي

لاي عدد حقيقي a القيمة المطلقة يرمز لها بالرمز | a | وتعرف بـ:

من التعريف يتضح أن القيمة المطلقة تكون دائما اما موجبة أو صفر ولكن لا يمكن ان تكون سالبة (تهمل الإشارة).

من وجهة نظر الهندسة التحليلية فإن القيمة المطلقة هي المسافة من الصفر على طول خط الاعداد الحقيقية, وبتعبير اخر المسافة بين عددين هي القيمة المطلقة للفرق بينهما.

قيمة مطلقة لعدد مركب Complex Number

القيمة المطلقة لعدد مركب z هي المسافة r من z إلى نقطة الاصل.

يمكن اعادة تعريف القيمة المطلقة لعدد مركب رياضيا من العلاقة

والذي يمكن تعميمه كما يلي:

لاي عدد مركب

حيث x وy أعداد حقيقية, القيمة المطلقة لـ z ورمزها |z| تعرف بـ

الخورازم

يمكن إنشاء دالة القيمة المطلقة باستخدام احدي لغات البرمجة مثل بيسك, باسكال, سي، اسمبلي,... بالشروط التالية:

مطلق(z)

• إذا كان z أكبر أو يساوي من صفر ارجع z
• إذا كان z أقل من صفر ارجع -z

الطالبات
روان محمد فارع محمد
اسراءعبدالله الزهراني

الشعبة r6

مصطلحات الرياضيات بالانجليزي وترجمتها بالعربي

chapters: فصول الكتاب
Sections: اقسام
Definitions: تعاريف
Theories: النظريات
Examples: امثلة
Exercises: تمارين
Algebra and real numbers: الجبر والاعداد الحقيقة
The set of real numbers: مجموعة الارقام الحقيقية
The real number line: خط الاعداد الحقيقية
Addition and multiplication of real numbers: الجمع والضرب في الاعداد الحقيقية
Further operations and properties: المزيد من العمليات والخصائص
Integer Exponents: الاسس
Scientific Notation: التدوين العلمي
Roots of real numbers: جذور الاعداد الحقيقية
Rational exponents and radicals: الاسس والجذور
polynomials: كثيرات الحدود
addition and subtraction: الجمع والطرح
multiplication: الضرب
Factoring: التحليل
Prime polynomials: كثيرات الحدود الاولية
Factoring out common factors: تحليل العوامل المشتركة
Factoring second degree polynomials: تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية
Rational Expressions: تعبيرات منطقية
Compound fractions: مجمع  الكسور
solving Linear equation in one variable: حل معادلة خطية من الدرجة الاولى
solving mixture problems:حل خليط المشاكل
Linear lnequalities:المتباينات
Applying linear lnequalities to chemistry:تطبيق المتبابنات في الكيمياء
Relating Absolute value and Distance:متعلقة القيم المطلقه والمسافه
complex Numbers:أرقام معقده
solving Equations lnvolving complex Nambers:حل معادلات بإدخال تنطوي على ارقام معقده
Quadratic Equations and Applications:المعادلات التربيعيه والتطبيقات
Revisiting Absolute value:إعاده النظر في القيمة المطلقه

        CHAPTER 2    

    الرسوم البيانية :  Graphs   

     أنظمة الإحداثيات الديكارتية    2-1 Cartesian Coordinate Systems:

     مراجعة نظام الإحداثيات الديكارتية : Reviewing Cartesian Coordinate System ‹                                                                                                                                                    

     الرسوم البيانية : نقطة نقطة  : Graphing: Point by Point   ‹   

     باستخدام التماثيل على المساعدات في الرسوم البيانية   Using Symmetry an Aid in Graphing  ‹

     المسافة في الطائرة  :    2-2   Distance in the plan

     المسافة بين نقطة السحب : Distance Between Tow Points  ‹

     منتصف قطعة مستقيمة  : Midpoint of a Line Segment  ‹  

     الدوائر  : circles  ‹                                                                                     

                   

     معادلة خط :   Equation of a line  2-3

                                                                                   

     خطوط بيانية  : Graphing Lines  ‹      

     العثور على المنحدر من الخط  :  Finding the Slope of a Line  ‹  

     تحديد أشكال الخاص للمعادلة الخط  : Determining Special Forms of the Equation of a Line ‹ 

     العثور على منحدرات من خطوط متوازية أو متعامدة : Finding Slopes of Parallel or Perpendicular Lines ‹

         

     المعادلات الخطية ونماذج  : Linear Equations and Models  2-4

    

      المنحدر كنسبة من تغيير  :  Slope as a Rate of Change ‹

      النماذج الخطية :  Linear Models ‹

      الانحدار الخطي :  Linear Regression ‹ 

CHAPTER 3     

       وظائف : Functions 3-1

               

    تعريف وظيفة وظائف  : Definition of Function

        تعريف وظيفة من المعادلات : Definition of Function by Equations

        استخدام الترقيم الدالة : Using Function Notation     

        التطبيق  :  Application

        برسوم بيانية وظائف : Graphing Functions  3-2

        المفاهيم الأساسية : Basic Concepts         

        خطية وظائف : Linear Functions 

        تعريف وظائف : Piecewise  Defined  Functions

     

        التحولات من الوظائف  : Transformations of Functions  3-3

      

         والمكتبة من الرسوم البيانية الابتدائية : A Library of Elementary Graphs

          تحويل الرسوم البيانية رأسيا وأفقيا : Shifting Graphs Horizontally and Vertically 

         الرسوم البيانية التي تعكس : Reflecting Graphs 

           تمتد وتقلص الرسوم البيانية : Stretching and Shrinking Graphs

          الشفع والوتر وظائف : Even and odd Functions  

         

         التربيعية وظائف  :  Quadratic Functions  3-4

      

         برسوم بيانية الدوال التربيعية : graphing quadratic functions          

         حل التفاوت التربيعية : Solving Quadratic Inequalities    

      

       العمليات على وظائف : Operations on Functions    3-5

        تنفيذ عمليات على وظائف : Performing Operations on Functions

        تكوين : Composition                                                         

        تركيب أو مركب  :  Composition 

    

    

        معكوس وظائف  :  Inverse Functions   3-6               

       واحد مقابل واحد وظائف : One-to-One Functions

       العثور على عكس وظيفة : Finding the Inverse of a Function

       والنمذجة الرياضية  : Mathematical Modeling  

       برسوم بيانية الدالات معكوس : Graphing Inverse Functions   

 أفنان حمد السلمان  
R6

   CHAPTER 5


defining exponential functions
تعريف الدوال الأسية
graphs of exponential functions
الرسوم البيانية من الدوال الأسية
the exponential function with base e
الدالة الأسية مع قاعدة ه
compound interest
الفائدة المركبة
interest compounded
مضاعفة الفائدة
mathematical modeling
والنمذجة الرياضية
data analysis and regression
تحليل البيانات والانحدار
a comparison of exponential growth phenomena
مقارنة بين ظواهر النمو المتسارع
defining logarithmic functions
تحديد وظائف لوغاريتمي
properties of  logarithmic functions
خصائص وظائف لوغاريتم
common and natural  logarithmic
لوغاريتم المشتركة والطبيعية

the change of base formula
تغيير الصيغة الاساسيه
logarithmic scales
الميزان اللوغاريتمي
data analysis and regression
تحليل وإرتداد بيانات
solving exponential equations
حل المعادلات الاسيه
solving logarithmic equations
حل المعادلات اللوغارتميه
conic sections
الاقسام المخروطيه
definition of a parabola
تعريف قطع مكافئ
drawing parabola
رسم قطع مكافئ
standard equations and their graphs 
المعادلات القياسيه ورسومهم البيانيه
definition of an ellipse
تعريف بيضوي
standard equations ellipses and their graphs
حذوفات المعادلات القياسيه ورسومهم البيانيه
applications
التطبيقات
definition of  a  hyperbola
تعريف قطع زائد
drawing a hyperbola
رسم قطع زائد
standard equations of hyperbolas and their graphs
المعادلات القياسيه للقطوع الزائده ورسومهم البيانيه
 CHAPTER 9
conic sections
الاقسام المخروطيه
translation of axes 
ترجمة الفؤوس
translation used in graphing
الترجمه استعملت في التخطيط 
rotation of axes
دوران الفوؤس
rotation used in graphing
الدوران استعمل في التخطيط
identifying conics
تحديد هندسة المخروطيات