الثلاثاء، 30 نوفمبر 2010

Formal Definition of Polynomials التعريف الدقيق للحدوديات




 Formal Definition of Polynomials


لتكن R حلقة[م]. الحدودية على R هي متتابعة f = (a_0
,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots ) لعناصر من R بحيث a_i = 0 دائما ماعدا عند عدد محدود من الأدلة i, أي يوجد عدد صحيح m بحيث a_i = 0 لكل i > m.

لتكن R[x] مجموعة جميع الحدوديات على الحلقة R. إذا كانت f = (a_0
,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots ) , g = (b_0 ,b_1 , \ldots ,b_n
, \ldots ) حدوديتين من R[x] فنعرف جمعهما وضربهما كما يلي:

\begin{array}{*{20}c} {f + g} \hfill
& { = (a_0 + b_0
,a_1 + b_1 , \ldots ,a_n + b_n , \ldots )} \hfill \\ {f \cdot g} \hfill & { = (c_0
,c_1 , \ldots ,c_n. , \ldots )} \hfill
\\ \end{array}

حيث
c_n = \sum\limits_{i + j = n}^{}
{a_i b_j } = a_0 b_n + a_1 b_{n - 1}
+ \cdots + a_{n - 1} b_1 + a_n b_0 =
\sum\limits_{i = 0}^n {a_i b_{n - i}
}
.

على وجه الخصوص
\begin{gathered} c_0
= a_0 b_0
\hfill \\ c_1 = a_0
b_1 + a_1 b_0 \hfill \\ c_2 = a_0
b_2 + a_1 b_1 + a_2 b_0 \hfill \\ c_3 = a_0
b_3 + a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_0 b_3 \hfill \\ \end{gathered}

بما أن f,g حدوديتين على R فإنه يوجد عددين صحيحين n_1 ,n_2 بحيث a_i = 0 لكل i > n_1 و b_i = 0 كل i > n_2 a_i + b_i = 0 لكل i > \max (n_1 ,n_2 ) وكذلك c_i = 0 لكل i > n_1 + n_2 . إذا كلا من f + g و f \cdot g حدوديتين على R وبالتالي R[x] مغلقة تحت هاتين العمليتين. وبالتالي

المجموعة R[x] المكونة من جميع الحدوديات f = (a_0
,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots ) تصبح حلقة تحت العمليتين f + g و f \cdot g وتسمى حلقة الحدوديات على R في متغير واحد x the ring of polynomials over R in one variable.

التطبيق[م] من R إلى R[x] المعرف بالعلاقة

r \to (r,0,0, \ldots )

هو تشاكل أحادي ولذلك يمكن أن نطابق R مع صورتها في R[x] وننظر إلى R كحلقة جزئية من حلقة الحدوديات R[x](r,0,0, \ldots ) مع العنصر r. بموجب هذه المطابقة يكون لدينا حيث نطابق

r(a_0
,a_1 , \ldots ,a_n , \ldots ) = (ra_0
,ra_1 , \ldots ,ra_n , \ldots )

وبالتالي إذا كان r = 1 محايد للحلقة R فإن الحدودية (1,0,0, \ldots ) محايد الحلقة R[x].

لإكمال العمل نحتاج للحقيقة التالية

حقيقة: لتكن R حلقة بمحايد 1 ولتكن x = (0,1,0,0,
\ldots ) عندئذ

1. x^n = (\underbrace {0,0, \ldots ,0}_{n{\text{
terms}}},1,0, \ldots ) حيث 1 في الإحداثي رقم n + 1.
2. إذا كان r \in R فإن rx^n = x^n r = (\underbrace {0,0,
\ldots ,0}_{n{\text{ terms}}},r,0, \ldots ) وذلك لكل عدد صحيح n \geqslant 0.

البرهان: إثبات 1. بالاستقراء الرياضي[م]. بما أن x = (0,1,0,0,
\ldots ) فإذا فرضنا صحة النتيجة[م] عند m فإن

x^m \cdot x = (\underbrace {0,0,0,0,0}_{{\text{m
terms}}},1,0, \ldots ) \cdot(0,1,0,0, \ldots ) = x^{m + 1}


وذلك لأن الإحداثي الغير صفري هو فقط الناتج من ضرب a_1 = 1 من الحدودية x في a_m = 1 من الحدودية x^m وهو سيكون الحد c_{m + 1} في x^m \cdot x حسب تعريف ضرب الحدوديات.

لإثبات 2. إذا كانت n = 0 فإن x^0 = (1,0,0, \ldots ) المحايد في R[x] وبالتالي ينتج بحساب مباشر حيث r \cdot 1 = 1 \cdot r.


كتابة الحدودية بالشكل المألوف
ما توصلنا إليه للتو سيمكننا من التعبير عن f بالشكل المألوف

f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots
+ a_n x^n

لنفرض أن R حلقة ذات محايد ولتكن f = (a_0
,a_1 , \ldots ,a_n ,0,0, \ldots ) حدودية على R. إذا
\begin{array}{*{20}c} f \hfill
& = \hfill & {(a_0 ,0, \ldots ) + (0,a_1 ,0, \ldots ) + (0,0,a_2 ,0,
\ldots ) \cdots + (0,0, \ldots
,a_n ,0, \ldots )} \hfill \\ {} \hfill & = \hfill
& {(a_0 ,0,0, \ldots
)(1,0,0,
\ldots ) + (a_1 ,0,0, \ldots )(0,1,0, \ldots
) + } \hfill \\ {} \hfill & {} \hfill & {(a_2 ,0,0, \ldots )(0,0,1,0, \ldots
) + \cdots + (a_n ,0,0, \ldots )(0,0, \ldots ,1,0,0, \ldots )} \hfill \\ {} \hfill & = \hfill
& {a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n } \hfill \\ \end{array}

لتمديد هذا التمثيل ليشمل حدوديات على حلقة R ليس لها محايد نبدأ أولا بغمر R في حلقة S ذات محايد 1_s . إذا R عبارة عن حلقة جزئية من S. من السهل التحقق من أن R[x] حلقة جزئية من S[x] وبالتالي الحدودية

f = (a_0 ,a_1 , \ldots ,a_n
,0,0,
\ldots )

من R[x] يمكن كتابتها في الصورة

f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots
+ a_n x^n

حيث a_i \in R \subset S و x = (0,1_s ,0,0,
\ldots ). الفرق الأساسي بين هذا وبين الحالة السابقة التي فيها R بمحايد أن x هنا لا تنتمي إلى R[x].

من جميع ما سبق اتضح لنا الأساس الذي بناء عليه نجد أن أغلب المقررات تقدم تعريف الحدودية على حلقة R (ذات محايد أو ليس لها محايد) على أنها تعبير رياضي على الشكل

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \ldots
+ a_n x^n

حيث a_i \in R. هذا التعبير يبين وجه التشابه بين الحدودية والدالة الحدودية والذي يفيد في نواحي نظرية[م] ولكنه قد يسبب خلط لدى القارئ بين الحدودية وبين الدالة الحدودية polynomial function.


تعريف حلقة الحدوديات في أكثر من متغير أمر ممكن , على سبيل المثال حلقة الحدوديات R[x,y] في المتغيرين x,y ما هي إلا R[x][y].


الطالبات 
مها عبد الله آل حمد
هيا محمد السّليم

من شعبة : R6